Из методических рекомендаций ФИПИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года

Таким образом, результат выполнения экзаменационной работы в целом в 2016 г. несколько повысился по сравнению с 2015 г., но при этом сохранилось большинство особенностей, недостатков и проблем в подготовке выпускников, отмечавшихся в предыдущие годы.
Так, задание 18 повышенного уровня выполнено в среднем с показателем 20,2%, что, конечно, почти в два раза выше прошлогодних 11,3%, но все равно недостаточно. (при разбросе по вариантам от 5% до 19%). Задание, проверяющее это содержание (преобразование импликации в логических выражениях), существует в ЕГЭ с 2005 г., но начина с 2012 г. оно планомерно усложняется. До 2014 г. задание было в группе заданий с выбором ответа, его перенос в прошлом году в категорию заданий с кратким ответом в сочетании с вводом дополнительного содержания в ряде вариантов (функция поразрядной конъюнкции двоичных чисел) привел к существенному снижению результатов. Задание было разобрано в методических рекомендациях 2015 г. и в 2016 г. дано в более простой формулировке. Тем не менее, задание остается одним из самых сложных в варианте. В рекомендациях 2016 г. мы повторяем разбор задания в формулировке 2015 г. и дополнительно приводим разбор одного из заданий текущего года.

Задание 18 повышенного уровня сложности проверяет знание экзаменующимся таблицы истинности для импликации и умение осуществить преобразование импликации в сложных выражениях. В 2015 году задание в ряде вариантов заодно проверяло умение осуществить поразрядную конъюнкцию двоичных чисел. Оно вызвало у экзаменующихся серьезные затруднения.

Задание 18.1 Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110&0101 = 0100 = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Решение.

Поскольку выражения A → (B → C) и (A /\ B) → C равносильны, выражение x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&A ≠ 0) равносильно выражению (x&25 ≠ 0 /\ x&17 = 0) → x&A ≠ 0.

Поскольку 25 = 11001 (в двоичной системе счисления), то x & 25 ≠ 0 означает, что или нулевой, или третий, или четвертый разряд в двоичной записи числа x не равен 0. Аналогично, x & 17 = 0 означает, что нулевой и четвертый разряд в двоичной записи числа x равны 0. Следовательно из (x&25 ≠ 0 /\ x&17 = 0) следует, что третий разряд в двоичной записи числа x не равен 0. Поэтому если 8&A ≠ 0, то выражение (x&25 ≠ 0 /\ x&17 = 0) → x&A ≠ 0 истинно при любом x, если же 8 & A = 0, то выражение ложно при, например, x = 8.

Наименьшее A, при котором 8&A ≠ 0 равно 8.

Ответ:8

В 2016 г. в некоторых вариантах задание 18 было в приведено в формулировке, требовавшей определения длин отрезков числовой прямой. Приведем пример задания 18 из одного из вариантов 2016 г.

Задание 18.2 На числовой прямой даны два отрезка: P = [30, 65] и Q = [10, 35]. Отрезок A таков, что формула ¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q)) истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Решение.

Для начала можно применить преобразование импликации два раза и получить выражение без импликации: ¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q)) равносильно выражению ¬(x ∈ A) → ((x ∉ P) \/ (x ∉ Q)) (мы преобразовали импликацию в скобках и применили отрицание, заменив «принадлежит» на «не принадлежит). Аналогично это выражение равносильно (x ∈ A) \/ ((x ∉ P) \/ (x ∉ Q)). Скобки можно раскрыть, получаем (x ∈ A) \/ (x ∉ P) \/ (x ∉ Q). Для этого выражения формула истинна для всех x, не принадлежащих либо отрезку P, либо отрезку Q. Чтобы она была истинна для всей числовой прямой, требуется, чтобы отрезок A полностью покрывал пересечение отрезков P и Q. Минимальный такой отрезок [30, 35] совпадает с пересечением отрезков P и Q и имеет длину 5.

Ответ: 5

Как видно из приведенных примеров, задание не требует для своего выполнения каких-то знаний и умений, выходящих за рамки стандартных логических преобразований, но требует хорошего понимания глубокой взаимосвязи операций пересечения и объединения множеств с логическими операциями конъюнкции и дизъюнкции. Эти множества могут представлять собой отрезки на прямой или натуральные числа, имеющие те или иные цифры в двоичном разложении.